Одеська школа функціонального аналізу була заснована в 1940 р. Її засновником був Марк Григорович Крейн (1907 – 1989), член-кор. АН УРСР (1939), член Академії Наук та Мистецтв США (1968), іноземний член Національної Академії Наук США (1979), лауреат премії Вольфа з математики (1982).
Перелік напрямів, де його дослідження стали фундаментальними і багато в чому визначили майбутнє цих розділів математики, охоплює: осціляційні ядра і матриці; проблему моментів, ортогональні поліноми і теорію апроксимації; конуси і опуклі множини в банахових просторах; теорію лакун і оператори у просторах з двома нормами; теорію розширень ермітових операторів, продовження додатно визначених функцій і гвинтових дуг; теорію цілих операторів, інтегральні оператори, прямі й обернені спектральні задачі для неоднорідних струн і рівнянь Штурма-Ліувілля; формулу слідів і теорію розсіяння; метод напрямних функціоналів; теорію стійкості диференціальних рівнянь; інтеграли Вінера-Хопфа, Тьопліца та сингулярні оператори; теорію операторів у просторах з індефінітною метрикою, індефінітні проблеми розширення; несамоспряжені оператори, характеристичні оператор-функції і трикутні моделі; теорію збурень і теорію Фредгольма; теорії інтерполяції і факторизації; теорію прогнозу для стаціонарних стохастичних процесів; проблеми теорії еластичності, теорію корабельних хвиль та хвильового опору.
Характерною рисою його робіт є їхня глибока внутрішня єдність, переплетення загальних абстрактних і геометричних ідей з конкретними аналітичними результатами і застосування. Професором М.Г.Крейном підготовлені доктори та кандидати фізико-математичних наук, серед них: академік НАН України Ю.М. Бережанський, доктори наук: І.Ц. Гохберг, Д.З.Аров, В.М.Адамян, І.С.Кац, М.А.Рутман, І.М.Глазман, Г.Я.Попов, М.М.Буришкін. кандидати наук А.А.Нудельман, Д.Л.Кучер, П.Г.Рехтман-Ольшанська, М.Н.Бобинін, В.Л.Шмульян, Ю.Л.Шмульян, В.Шмушкович, С.А.Орлов, Ш.Н.Саакян, В.А.Яврян, А.П.Артеменко, Г.М.Финкельштейн, Ф.Е.Мелік-Адамян, В.М.Фомін, К.Р.Коваленко та інші.
Представниками цієї школи, які працювали або працюють у нашому університеті, є: В.П.Потапов, М.С.Бродський, М.С.Лівшиць, С.А.Орлов, Ю.П.Гінзбург, Д.П.Мільман, М.А.Рутман, Г.М.Губреєв, В.М.Пивоварчик, Д.З.Аров, Д.Л.Кучер, А.В.Єфімов, Б.Ф.Мукмінов, Л.Є.Ісаєв, Я.Є.Шварцман, Л.А.Сімакова, М.А. Нудельман, С.М.Саприкін, М.Г.Волкова, О.І.Олефір.
В.П.Потапов розробив мультиплікативну теорію мероморфних в одиничному крузі або в півплощині J-стискуючих матриць-функцій і розглянув її застосування у класичних інтерполяційних задачах та теорії пасивних електричних ланцюгів.
М.С.Бродський розробив теорію жорданових зображень несамоспряжених та неунітарних операторів. Він є автором монографії “Треугольные и жордановы представления линейных операторов”, М.:“Наука” , 1969, 287с.Ю.П.Гінзбург узагальнив результати В.П.Потапова на випадок оператор-функцій та зробив певний внесок у розробку геометрії просторів з індефінітною метрикою.
М.С.Лівшиць є засновником спектральної теорії несамоспряжених та неунітарних операторів, в основу якої було покладено поняття характеристичної функції оператора. Він є автором монографії “Операторы колебания, волны ”, М: “Наука”, 1966, 250с.; також співавтором книги М.С. Ліфшіць, А.А. Янцевич, “Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах”, Вид. Харьківського університету, 1971, 160с.
Д.З.Аров (послідовник керівника школи в нашому університеті) розробив теорію пасивних лінійних стаціонарних систем з втратою каналів розсіяння, у межах якої узагальнив метод Дарлінгтона та розширив теорію регулярних g-створюючих матриць, J-внутрішніх матриць-функцій із застосуванням до інтерполяційних задач і обернених задач для канонічних диференціальних систем. Разом з М.Г.Крейном і В.М.Адамяном Д.З.Аров розробив теорію нескінчених блочно-ганкелевих операторів із застосуванням до задач Нехарі і Такагі, яка поклала початок розвитку Н? -оптимального контролю.
За останні роки під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Д.З.Арова виконувалося декілька держбюджетних тем та міжнародних проектів з теорії лінійних операторів і лінійних пасивних систем у просторах Гілберта та Понтрягіна. До виконання міжнародних проектів були залучені не тільки викладачі педагогічного університету, а й математики інших закладів - відомі спеціалісти функціонального аналізу (В.М.Адамян, М.Л.Горбачук, Л.А.Сахнович та ін.). При виконанні цих робіт викладачами університету здобуті такі основні результати.
Одержано необхідні та достатні умови на матрицю розсіювання, за яких всі лінійні мінімальні стаціонарні дисипативні системи з цією матрицею розсіювання подібні та двобічно стабільні, а також умови, за яких вони унітарно еквівалентні.
Досліджено новий клас строго регулярних j-внутрішніх матриць-функцій, важливий для інтерполяційних задач та для канонічних диференціальних систем, а також для гармонійного аналізу операторів у гільбертовому просторі; матричні двостороннє дотичні узагальнені проблеми М.Г.Крейна, що мають особливе значення для теорії прогнозування багатомірних випадкових процесів з неперервним часом з частково заданими кореляційними та структурними матрицями-функціями.
Побудована теорія лінійних стаціонарних консервативних систем розсіювання у просторах Понтрягіна з дискретним часом.
Досліджено проблеми подібності операторів, базисності систем квазіекспонент, L2-стійкості контінуальних півгруп операторів та інші,які пов’язані з гармонічним аналізом дисипативних та недисипативних операторів, одержаних скінченомірними збуреннями вольтерових операторів. Одержані при цьому результати відкривають новий напрям у розвитку теорії лінійних операторів у гільбертовому просторі – теорії цілих неермітових операторів.
За темами, що виконувалися під керівництвом Д.З.Арова, було одержано грант Фонду Сороса (1994-1996 рр.) та виконано два спільних проекти:
1) українсько-американський (1997-1999 рр.), де керівником американської групи був відомий спеціаліст з теорії систем та операторів, професор Каліфорнійського університету (Сан-Дієго) J.W.Helton;
2) українсько-ізраїльський (1998-1999 рр), де керівником ізраїльської групи був відомий спеціаліст з теорії операторів та її застосування в теорії систем, теорії функцій професор Інституту Наук ім. Вейсмана H.Dym.
Дамір Зямович Аров неодноразово запрошувався за кордон для читання циклу лекцій з проблем теорії пасивних лінійних систем та теорії j-внутрішніх матриць-функцій (Хоккайдський університет, Каракаський університет та ін.), для наукової роботи до Лейпцігського університету, де під певним впливом Д.З.Арова сформувалася група “аналізу Шура” (проф. B.Fritzche, B.Kirstein та їх учні); до Амстердамського університету для роботи з проф. Kaashoek та сумісного керівництва дисертаційною роботою аспіранта цього університету; до Інституту Наук ім. Вейсмана (Ізраїль) для спільної роботи з проф. H.Dуm’ом.
У 2005 році Д.З.Аров був обраний Почесним доктором Abo Academi University (Фінляндія).
Кожен рік Д.З.Аров бере участь у міжнародних конференціях з теорії операторів та систем у Японії, Німеччині, Нідерландах, Австрії, Франції, Румунії, Угорщині, Ізраїлі.
